Hier ist mal noch eine Alternative ohne zusätzliche Bibliotheken. Für die Beschriftung der y-Achse werden die Schnittpunkte der Hilfslinien mit dieser verwendet, weshalb keine separate Berchnung Berechnung notwendig ist. Die Label für die Achsen habe ich zu den Pfeilspitzen verschoben.
\documentclass[border=10pt]{standalone}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.10}
\usepgfplotslibrary{fillbetween}
\usetikzlibrary{intersections}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[
hilfslinie/.style = {help lines, dashed},
differenz/.style = {latex-latex,thin},
funktion/.style = {black, thick, mark = none}
]
\begin{axis}[
axis y line = left,
axis x line = bottom,
xtick = \empty,
ytick = \empty,
samples = 160,
domain = 0:5,
xmax = 6,
ymax = 6,
xtick=3,
xticklabels={$I_0$},
xlabel=$I$,
xlabel style={at={(rel axis cs:1,0)}},
ylabel=$\Psi$,
ylabel style={at={(rel axis cs:0,1)},rotate=-90},
]
\addplot[funktion, name path global = funktion2,color=black] {2*sqrt(x)};
\addlegendentry{Case 1}
\addplot[funktion, name path global = funktion1,color=blue] {sqrt(x)};
\addlegendentry{Case 2}
\addplot[gray!60] fill between [
of = funktion1 and funktion2,
soft clip = {domain = 0:3}
] ;
\path[name path = linie] (axis cs:3,0) -- (axis cs:3,4);
\path[name intersections = {of = funktion1 and linie,by=p1}];
\path[name intersections = {of = funktion2 and linie,by=p2}];
\draw[hilfslinie]
({axis cs:0,0}|-p1)coordinate(yl1)--([xshift=1.5cm]p1)
({axis cs:0,0}|-p2)coordinate(yl2)--([xshift=1.5cm]p2)
(axis cs:3,0)--([yshift=.5cm]p2);
\draw[differenz]([xshift=1cm]p1)--node[right]{$\Delta\Psi$}([xshift=1cm]p2);
\legend{$\Psi_1(I_0,\delta_1)$\\$\Psi_2(I_0,\delta_2)$\\}
\end{axis}
\foreach \n in {1,2}\node[left]at(yl\n){${x_\n,\delta_\n}$};
\end{tikzpicture}
\end{document}
![alt text][1]
[1]: http://texwelt.de/wissen/upfiles/plotbeschriftung.png
