Liebe Community, ich versuche mich gerade an TEX und habe einige Fragen zu meinem Dokument, welches ich am erstellen bin. Zum einen möchte ich Fragen wie man das Layout etwas besser gestalten könnte und ob man eventuelle nicht Notwendige Syntax (Codes) entfernen kann und wenn welche. Des Weiteren sind die Bilder der Funktionen via GeoGebra im Dokument etwas unschön positioniert und ich hatte Schwierigkeiten diese zu benennen. Auch das Koordinatensystem mit der zugehörigen Beschriftung gelingt mir nicht wirklich. Weiteres wäre der allgemeine Schriftfluss, ich meine damit das nicht sofort eine neue Seite benutzt wird, wenn kein Platz mehr ist. Ein Verzeichnis der Abbildungen wäre auch gut ;) Ich hoffe sehr jemand macht sich die Mühe und kann mir helfen :) Anbei die Datei: \documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[german]{babel} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{makeidx} \usepackage{graphicx} \usepackage{lmodern} \usepackage{kpfonts} \usepackage{fourier} \usepackage{pgf,tikz} \usetikzlibrary{arrows} \usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2,5cm,bottom=2cm]{geometry} \author{Mario Peters} \title{Die Exponentialfunktion} \begin{document} \maketitle \tableofcontents \pagebreak\\ \\ \\ \\ \ \section{Die Exponentialfunktion} \paragraph{\begin{flushleft} Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, die im einfachsten Fall die Form f(x)=ax hat. Dabei ist die Basis a eine reelle positive Zahl ungleich 0 oder 1 und der Exponent x eine Variable. Wie die meisten Funktionen hat auch die Exponentialfunktion einen charakteristischen Graphen. Dieser lässt sich durch Parameter beeinflussen. \end{flushleft}} \subsection{Arten der Exponentialfunktionen} \begin{flushleft} Es gibt unterschiedliche Arten von Exponentialfunktionen. Drei wichtige werden dir hier vorgestellt:\\ Wachstumsfunktionen sind monoton steigende Funktionen, die Vorgänge beschreiben, bei denen etwas zunimmt. In der Grafik entspricht das der Funktion f.\\ Zerfallsfunktionen sind monoton fallende Funktionen, die Vorgänge beschreiben, bei denen etwas abnimmt. In der Grafik entspricht das der Funktion g.\\ Die natürliche Exponentialfunktion ist eine Funktion, die als Basis die eulersche Zahl $e$ hat. Sie beschreibt wachsende Vorgänge und zugleich ihre momentanen Änderungsraten.\\ Die Eigenschaft der natürlichen Exponentialfunktion stellt in der Funktionsanalyse einen wichtigen Vorteil dar. Deshalb werden häufig mithilfe von Logarithmusfunktionen gewöhnliche Exponentialfunktionen in natürliche umgewandelt. Um dies durchführen zu können, musst du dich mit e-Funktionen und den Rechenregeln der Logarithmusfunktionen gut auskennen. \end{flushleft} \definecolor{ffqqqq}{rgb}{1,0,0} \begin{center} \end{figure} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm] \draw[->,color=black] (-4.3,0) -- (5.14,0);\label{Koordinatensystem} \foreach \x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,} \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$}; \draw[->,color=black] (0,-1.2) -- (0,6.3); \foreach \y in {-1,1,2,3,4,5,6} \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$}; \draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$}; \clip(-4.3,-3.58) rectangle (10.14,6.3); \draw[blue,smooth,samples=100,domain=-4:5.0] plot(\x,{2^(\x)}); \draw[red,smooth,samples=100,domain=-4.2:5.0] plot(\x,{2^(-\x)}); \end{tikzpicture}\\ blau $f(x) =2^x $\:und\: rot $f(x) =2^{-x}$ \end{center} \pagebreak\\ \\ \\ \\ \\ \ \ \\ \\\\\ \\ \ \ \subsection{Die Funktionsgleichungen und deren Parameter im Bezug auf den Graphen} \begin{equation} f(x)=e^x \end{equation} Diese natürliche Exponentialfunktion kann noch durch 4 Parameter (a,c,d und y_{0}) ergänzt werden. Diese beeinflussen auf ihre spezifische Art den Graphen der Funktion. \subparagraph{graphische Darstellung von f(x)=e^x} \definecolor{ffqqqq}{rgb}{1,0,0} \begin{center} \begin{center} \end{figure} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm] \draw[->,color=black] (-4.3,0) -- (5.14,0);\label{Koordinatensystem} \foreach \x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,} \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$}; \draw[->,color=black] (0,-1.2) -- (0,6.3); \foreach \y in {-1,1,2,3,4,5,6} \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$}; \draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$}; \clip(-4.3,-3.58) rectangle (10.14,6.3); \draw[blue,smooth,samples=100,domain=-4:5.0] plot(\x,{e^(\x)}); \end{tikzpicture} \end{center} Typische Eigenschaften:\\ - schneidet die y-Achse an der Stelle (0\mid 1)\\ - streng monoton steigend\\ -Graph nähert sich der x-Achse annähernd, aber berührt sie nie (Asymtote: y=0)\\ \pagebreak\\ \section{Die natürliche Exponentialfunktion/e-Funktion} \section{Ableitungsgraphen der Exponentialfunktion untersuchen} \subsection{Aufgabe 1} \begin{flushleft} \subparagraph{(a)} Zeichnen Sie zu f mit $f(x)=a^x$ mit dem GTR oder GeoGebra die Graphen von $f, f\prime$ und $\frac{f\prime}{f}$ in ein gemeinsames Koordinatensystem ein. Variieren Sie die Basis und beschreiben Sie, was Ihnen auffällt. \subparagraph{(b)} Es gibt eine Zahl e, für die der Graph der Funktion $f$ mit $f(x)=e^x$ exakt mit dem Graphen der Ableitungsfunktion übereinstimmt. Diese Zahl heißt Euler´sche Zahl ($e$). Bestimmen Sie mit dem GTR/GeoGebra durch Variation der Werte in a) einen Näherungswert für diese Zahl $e$. \end{flushleft} \subsection{Bearbeitung der Aufgabe 1} \begin{figure,center} \begin{minipage}[b]{.4\linewidth} % [b] => Ausrichtung an \caption \includegraphics[width=\linewidth]{Bild1} \caption{Bild 1} {$f(x)=a^x$, $a=1,8$} \end{minipage} \hspace{.1\linewidth}% Abstand zwischen Bilder \begin{minipage}[b]{.5\linewidth} % [b] => Ausrichtung an \caption \includegraphics[width=\linewidth]{Bild2} \caption{Bild 2} {$f(x)=a^x$, $a=2,4$} \end{minipage} \end{figure} \begin{figure,center} \begin{minipage}[b]{.4\linewidth} % [b] => Ausrichtung an \caption \includegraphics[width=\linewidth]{Bild3} \caption{Bild 3} {$f(x)=a^x$, $a=2,7$} \end{minipage} \hspace{.1\linewidth}% Abstand zwischen Bilder \begin{minipage}[b]{.5\linewidth} % [b] => Ausrichtung an \caption \includegraphics[width=\linewidth]{Bild4} \caption{Bild 4} {$f(x)=a^x$, $a=3,5$} \end{minipage} \end{figure} \ \ \\\ Der Graph von $f\prime$ verläuft unterhalb von dem Graphen von $f$ für alle $a<2,7$ . Für ca. $a=2,7$ stimmen die beiden Graphen (fast) überein und es gilt: $\frac{f\prime}{f} \approx 1$. Für $a>2,7$ verläuft der Graph von $f'$ oberhalb von $f$. Durch die Variation von $a$ in noch kleineren Schrittweiten erhält man einen Näherungswert 2,718 für die Euler´sche Zahl $e$. \newpage \subsection{Aufgabe 2} \subparagraph{(a)}Bringen Sie die Kärtchen mit den folgenden Rechenschritten und Schlussfolgerungen in die richtige Reihenfolge. Erläutern Sie die jeweiligen Termumformungen oder Schlussfolgerungen. \\\ \subsection{Bearbeitung der Aufgabe 2} gegebene Funktion: $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x)=a^x$}\\ \begin{equation} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \Leftrightarrow \frac{a^{x+h}-\:a^x}{h} \Leftrightarrow \frac{a^x \cdot a^h -\:a^x}{h} \Leftrightarrow \frac{a^x \cdot \: a^{h -1}}{h} \Leftrightarrow a^x*\frac{a^{0+h}-\:a^0}{h} \\ \end{equation} \rightarrow Für die Ableitung einer Exponentialfunktion vom Typ $f(x)=a^x$, $(a>0)$ gilt:\\ $f\prime(x) = f\prime(0)*a^x$. Die Ableitung einer Exponentialfunktion $f\prime$ ist somit proportional zu der Funktion $f$. \end{document}

Liebe Community, ich versuche mich gerade an TEX und habe einige Fragen zu meinem Dokument, welches ich am erstellen bin. Zum einen möchte ich Fragen wie man das Layout etwas besser gestalten könnte und ob man eventuelle nicht Notwendige Syntax (Codes) entfernen kann und wenn welche. Des Weiteren sind die Bilder der Funktionen via GeoGebra im Dokument etwas unschön positioniert und ich hatte Schwierigkeiten diese zu benennen. Auch das Koordinatensystem mit der zugehörigen Beschriftung gelingt mir nicht wirklich. Weiteres wäre der allgemeine Schriftfluss, ich meine damit das nicht sofort eine neue Seite benutzt wird, wenn kein Platz mehr ist. Ein Verzeichnis der Abbildungen wäre auch gut ;) Ich hoffe sehr jemand macht sich die Mühe und kann mir helfen :) Anbei die Datei: \documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[german]{babel} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{makeidx} \usepackage{graphicx} \usepackage{lmodern} \usepackage{kpfonts} \usepackage{fourier} \usepackage{pgf,tikz} \usetikzlibrary{arrows} \usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2,5cm,bottom=2cm]{geometry} \author{Mario Peters} \title{Die Exponentialfunktion} \begin{document} \maketitle \tableofcontents \pagebreak\\ \\ \\ \\ \ \section{Die Exponentialfunktion} \paragraph{\begin{flushleft} Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, die im einfachsten Fall die Form f(x)=ax hat. Dabei ist die Basis a eine reelle positive Zahl ungleich 0 oder 1 und der Exponent x eine Variable. Wie die meisten Funktionen hat auch die Exponentialfunktion einen charakteristischen Graphen. Dieser lässt sich durch Parameter beeinflussen. \end{flushleft}} \subsection{Arten der Exponentialfunktionen} \begin{flushleft} Es gibt unterschiedliche Arten von Exponentialfunktionen. Drei wichtige werden dir hier vorgestellt:\\ Wachstumsfunktionen sind monoton steigende Funktionen, die Vorgänge beschreiben, bei denen etwas zunimmt. In der Grafik entspricht das der Funktion f.\\ Zerfallsfunktionen sind monoton fallende Funktionen, die Vorgänge beschreiben, bei denen etwas abnimmt. In der Grafik entspricht das der Funktion g.\\ Die natürliche Exponentialfunktion ist eine Funktion, die als Basis die eulersche Zahl $e$ hat. Sie beschreibt wachsende Vorgänge und zugleich ihre momentanen Änderungsraten.\\ Die Eigenschaft der natürlichen Exponentialfunktion stellt in der Funktionsanalyse einen wichtigen Vorteil dar. Deshalb werden häufig mithilfe von Logarithmusfunktionen gewöhnliche Exponentialfunktionen in natürliche umgewandelt. Um dies durchführen zu können, musst du dich mit e-Funktionen und den Rechenregeln der Logarithmusfunktionen gut auskennen. \end{flushleft} \definecolor{ffqqqq}{rgb}{1,0,0} \begin{center} \end{figure} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm] \draw[->,color=black] (-4.3,0) -- (5.14,0);\label{Koordinatensystem} \foreach \x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,} \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$}; \draw[->,color=black] (0,-1.2) -- (0,6.3); \foreach \y in {-1,1,2,3,4,5,6} \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$}; \draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$}; \clip(-4.3,-3.58) rectangle (10.14,6.3); \draw[blue,smooth,samples=100,domain=-4:5.0] plot(\x,{2^(\x)}); \draw[red,smooth,samples=100,domain=-4.2:5.0] plot(\x,{2^(-\x)}); \end{tikzpicture}\\ blau $f(x) =2^x $\:und\: rot $f(x) =2^{-x}$ \end{center} \pagebreak\\ \\ \\ \\ \\ \ \ \\ \\\\\ \\ \ \ \subsection{Die Funktionsgleichungen und deren Parameter im Bezug auf den Graphen} \begin{equation} f(x)=e^x \end{equation} Diese natürliche Exponentialfunktion kann noch durch 4 Parameter (a,c,d und y_{0}) ergänzt werden. Diese beeinflussen auf ihre spezifische Art den Graphen der Funktion. \subparagraph{graphische Darstellung von f(x)=e^x} \definecolor{ffqqqq}{rgb}{1,0,0} \begin{center} \begin{center} \end{figure} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm] \draw[->,color=black] (-4.3,0) -- (5.14,0);\label{Koordinatensystem} \foreach \x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,} \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$}; \draw[->,color=black] (0,-1.2) -- (0,6.3); \foreach \y in {-1,1,2,3,4,5,6} \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$}; \draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$}; \clip(-4.3,-3.58) rectangle (10.14,6.3); \draw[blue,smooth,samples=100,domain=-4:5.0] plot(\x,{e^(\x)}); \end{tikzpicture} \end{center} Typische Eigenschaften:\\ - schneidet die y-Achse an der Stelle (0\mid 1)\\ - streng monoton steigend\\ -Graph nähert sich der x-Achse annähernd, aber berührt sie nie (Asymtote: y=0)\\ \pagebreak\\ \section{Die natürliche Exponentialfunktion/e-Funktion} \section{Ableitungsgraphen der Exponentialfunktion untersuchen} \subsection{Aufgabe 1} \begin{flushleft} \subparagraph{(a)} Zeichnen Sie zu f mit $f(x)=a^x$ mit dem GTR oder GeoGebra die Graphen von $f, f\prime$ und $\frac{f\prime}{f}$ in ein gemeinsames Koordinatensystem ein. Variieren Sie die Basis und beschreiben Sie, was Ihnen auffällt. \subparagraph{(b)} Es gibt eine Zahl e, für die der Graph der Funktion $f$ mit $f(x)=e^x$ exakt mit dem Graphen der Ableitungsfunktion übereinstimmt. Diese Zahl heißt Euler´sche Zahl ($e$). Bestimmen Sie mit dem GTR/GeoGebra durch Variation der Werte in a) einen Näherungswert für diese Zahl $e$. \end{flushleft} \subsection{Bearbeitung der Aufgabe 1} \begin{figure,center} \begin{minipage}[b]{.4\linewidth} % [b] => Ausrichtung an \caption \includegraphics[width=\linewidth]{Bild1} \caption{Bild 1} {$f(x)=a^x$, $a=1,8$} \end{minipage} \hspace{.1\linewidth}% Abstand zwischen Bilder \begin{minipage}[b]{.5\linewidth} % [b] => Ausrichtung an \caption \includegraphics[width=\linewidth]{Bild2} \caption{Bild 2} {$f(x)=a^x$, $a=2,4$} \end{minipage} \end{figure} \begin{figure,center} \begin{minipage}[b]{.4\linewidth} % [b] => Ausrichtung an \caption \includegraphics[width=\linewidth]{Bild3} \caption{Bild 3} {$f(x)=a^x$, $a=2,7$} \end{minipage} \hspace{.1\linewidth}% Abstand zwischen Bilder \begin{minipage}[b]{.5\linewidth} % [b] => Ausrichtung an \caption \includegraphics[width=\linewidth]{Bild4} \caption{Bild 4} {$f(x)=a^x$, $a=3,5$} \end{minipage} \end{figure} \ \ \\\ Der Graph von $f\prime$ verläuft unterhalb von dem Graphen von $f$ für alle $a<2,7$ . Für ca. $a=2,7$ stimmen die beiden Graphen (fast) überein und es gilt: $\frac{f\prime}{f} \approx 1$. Für $a>2,7$ verläuft der Graph von $f'$ oberhalb von $f$. Durch die Variation von $a$ in noch kleineren Schrittweiten erhält man einen Näherungswert 2,718 für die Euler´sche Zahl $e$. \newpage \subsection{Aufgabe 2} \subparagraph{(a)}Bringen Sie die Kärtchen mit den folgenden Rechenschritten und Schlussfolgerungen in die richtige Reihenfolge. Erläutern Sie die jeweiligen Termumformungen oder Schlussfolgerungen. \\\ \subsection{Bearbeitung der Aufgabe 2} gegebene Funktion: $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x)=a^x$}\\ \begin{equation} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \Leftrightarrow \frac{a^{x+h}-\:a^x}{h} \Leftrightarrow \frac{a^x \cdot a^h -\:a^x}{h} \Leftrightarrow \frac{a^x \cdot \: a^{h -1}}{h} \Leftrightarrow a^x*\frac{a^{0+h}-\:a^0}{h} \\ \end{equation} \rightarrow Für die Ableitung einer Exponentialfunktion vom Typ $f(x)=a^x$, $(a>0)$ gilt:\\ $f\prime(x) = f\prime(0)*a^x$. Die Ableitung einer Exponentialfunktion $f\prime$ ist somit proportional zu der Funktion $f$. \end{document}