Notfalls kannst Du die Achsenbeschriftung immer von Hand machen. Dabei geben die Optionen `xticks` und `yticks` an, wo beschriftet werden soll. Die Optionen `xtickslabels` und `ytickslabels` geben hingegen an, was geschrieben werden soll:
    \documentclass[margin=10mm]{standalone}
    \usepackage{siunitx}
    \usepackage{pgfplots}
    \pgfplotsset{width=16cm,compat=1.15}
    \usepackage{amsmath}
    
    \begin{document}
    
    \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}[
    xlabel=Konzentration in $\si{\percent}$ $\xrightarrow{\hspace*{1cm}}$,
    ylabel= Oberflächenspannung in $\si{\milli\newton\per\meter}$
    $\xrightarrow{\hspace*{1cm}}$,
    xtick={0,20,40,60},
    xticklabels={0,20,40,\si{\milli\A}},
    ytick={50,55,...,75},
    yticklabels={50,55,60,65,\si{\milli\A},75},
    ]
    \addplot[mark=o,error bars/.cd,y dir=both,y explicit]coordinates
    {
    (0,68.40891501)  +- (0,4.778953312) 
    (20,63.98903632) +- (0,4.115686076)
    (40,60.64486555) +-  (0,6.848451706)
    (60,62.39588189) +- (0,7.741357204)
    };
    \legend{Messung}
    \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    
    \end{document}
![manuelle tickslabels][1]
Man kann das ganze natürlich auch halbautomatisch machen, indem man einen Befehl per `xticklabel` bzw. `yticklabel` angibt:
    \documentclass[margin=10mm]{standalone}
    \usepackage{siunitx}
    \usepackage{pgfplots}
    \pgfplotsset{width=16cm,compat=1.15}
    \usepackage{amsmath}
    
    \newcommand*{\usesymbolfor}[2]{%
      \pgfmathifthenelse{\tick==#2}{1}{0}%
      \ifnum \pgfmathresult=1\relax \si{#1}\else $\pgfmathprintnumber{\tick}$\fi
    }%
    
    \begin{document}
    
    \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}[
    xlabel=Konzentration in $\si{\percent}$ $\xrightarrow{\hspace*{1cm}}$,
    ylabel= Oberflächenspannung in $\si{\milli\newton\per\meter}$
    $\xrightarrow{\hspace*{1cm}}$,
    xtick={0,20,...,60},
    xticklabel={\usesymbolfor{\milli\A}{40}},
    ytick={50,55,...,75},
    yticklabel={\usesymbolfor{\milli\A}{70}},
    ]
    \addplot[mark=o,error bars/.cd,y dir=both,y explicit]coordinates
    {
    (0,68.40891501)  +- (0,4.778953312) 
    (20,63.98903632) +- (0,4.115686076)
    (40,60.64486555) +-  (0,6.848451706)
    (60,62.39588189) +- (0,7.741357204)
    };
    \legend{Messung}
    \end{axis}
    \end{tikzpicture}
  [1]: http://texwelt.de/wissen/upfiles/test_20171109_074322.pnghttp://texwelt.de/wissen/upfiles/test_20171109_074322.png