Der Befehl `\funktion` berechnet nichts. Damit ist
macht
\newcommand*\ableitung[1]{(\funktion{#1+0.01}-\funktion{#1})/0.01}
zu
bei Verwendung des von Dir definierten `\funktion` das gleiche wie
\newcommand*\ableitung[1]{((#1+0.01)^2 +1-(#1)^2 +1)/0.01}
Beachte das `+` vor der zweiten `1` im Dividenden.
Dividenden. Die Ableitung wird dadurch sehr viel größer und die Tangente entsprechend steiler.
Du müsstest also die Summe in Deiner Definition von `\funktion` noch in runde Klammern setzen, um das gewünschte Ergebnis zu erhalten:
\newcommand*\funktion[1]{((#1)^2 +1)}
![alt text][1]
Alternativ kannst Du auch die Bibliothek `math` nutzen:
\documentclass[margin=5mm]{standalone}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.9}
\usetikzlibrary{math}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[font=\footnotesize]
\tikzmath{
function funktion(\x)
{return \x^2+1;};
function ableitung(\x)
{return (funktion(\x+0.01)-funktion(\x))/0.01;};
function tangente(\x, \u)
{return ableitung(\u)*(\x-\u)+funktion(\u);};
}
\begin{axis}[
axis lines=middle, enlargelimits,
xlabel=$x$,xlabel style={anchor=north},xtick=\empty,
ylabel=$y$,ylabel style={anchor=east},%ytick=\empty,
x axis line style = {-latex}, y axis line style = {-latex},
]
\addplot[domain=-3:3,samples=200]{funktion(x)};
% Tangente zeichnen in T(u, f(u))
\pgfmathsetmacro{\u}{1} % Berührstelle u eingeben
\pgfmathsetmacro{\Laenge}{1.25} % Länge der Tangente eingeben
% Tangente
\addplot[domain=\u-\Laenge:\u+\Laenge, red]{tangente(x,\u)};
% Koordinaten des Berührpunktes und seiner Fusspunkte
\coordinate (P) at (axis cs: \u,{funktion(\u)}) ;
\coordinate (Q) at (axis cs:0,{funktion(\u)}) ;
\coordinate (R) at (axis cs:\u,0) ;
\draw[red,dotted] (P) -- (Q) node[left] {$f(u)$} ;
\draw[red,dotted] (P) -- (R) node[below] {$u$} ;
% Berührpunkt T(u, f(u))
\draw[red, fill=white] (axis cs: \u, {funktion(\u)}) circle[radius=1.5pt] node[above, red] {$T$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{document}
Wenn Du `compat` auf eine aktuellere Version einstellen würdest, könntest Du Dir übrigens die ganzen `axis cs` sparen.
[1]: http://texwelt.de/wissen/upfiles/tw_funktionplot.png
